用与排列数量相同的6厘米魔方覆盖地球表面可达300次

　　想知道那些公式都是如何被发现的。

　　泻药

　　虽然不知道有什么数学原理

　　但我可以用机械原理拆装回去

　　魔方的公式的话，就以三阶为例。OLL和PLL的公式大部分都是电脑算的，和数学原理没什么关系。还有一部分是set up得出的，就比如说有一个P贼顺手，我就把其他的几个P都set up成这个P做，最后再set up reverse。有些还能抵消步数。

　　至于F主要就是自己琢磨的了，因为F的自由度很高。

　　非要说和数学原理有什么关系的话，大概就只有群论了吧，用群论证明了三阶魔方的上帝之数是20（虽然最后还是依靠了计算机的穷举）。

　　来源：头条号@数学经纬网链接：【一点资讯】北大数学博士生硬核科普：魔方与数学 www.yidianzixun.com

　　谢谢邀请！魔方，记得以前还特别迷恋它，感觉这个东西很神奇啊。不过，以前只会玩一玩，对于其中包含的数学知识并没有深入思考，现在读到了博士阶段，在这些年与数学打交道的基础上，对于“魔方中有哪些数学知识？”这一问题有了自己的一些思考，在此想要与大家一同分享，希望能够带给大家一定的帮助！

　　一起认识一下魔方

　　魔方，这一风靡全球的小玩具，是匈牙利建筑学教授Ernő Rubik于1974年发明的。自1980年大规模生产以来，魔方早已走进了千家万户，相信很多人都还亲自玩过魔方。一些影视作品中也有魔方的身影，比如电影《当幸福来敲门》威尔•史密斯饰演的男主角通过复原魔方而得到工作实习机会；近年来的一些综艺节目如《最强大脑》《挑战不可能》等也屡现关于魔方的表演；世界上也时常举办魔方类的比赛等。这些都体现了魔方作为常人眼中“高智商玩具”的一面。

　　前几天因新冠肺炎不幸逝世的著名数学家康威也与魔方有千丝万缕的联系。他很早就开始关注魔方，并且把魔方带到了第十八届国际数学家大会上。康威一直关心包括魔方在内的各种数学游戏和智力玩具，曾在专注于此的马丁•加德纳的专栏写过多篇文章，还出席过许多相关的活动。

　　康威（John Horton Conway，1937－2020）

　　魔方与数学的关系

　　魔方在发展的过程中演化出了各种各样的变形，目前已经有33阶的魔方。

　　魔方与数学中几何的关系密切，从相对常见的四种正多面体（正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体），到不那么常见的半正多面体、卡塔兰立体，甚至更加奇特的几何体，都可以在魔方中找到它们的踪迹。

　　正十二面体三阶五魔方可以改造成立方体外形的Hexaminx，此时六个面的图案仍然十分规整——这就体现了正十二面体与立方体的联系：选取正十二面体的八个顶点连接，就可以得到一个立方体。从三阶五魔方改造出Hexaminx的过程，正是切掉六个“屋顶”形状的部分。

　　上述这个关系在数学中也大有用处，可以被用于证明正十二面体的保向对称群与交错群A5同构。

　　现代的一些魔方则会用到更加奇妙的几何。譬如，有一类平面转盘魔方“天竺葵”系列，与彭罗斯密铺（Penrose Tiling）密切相关。值得一提的是，彭罗斯密铺因著名数学家、物理学家Roger Penrose的研究而得名，他本人亦是有据可查的和康威一样将魔方带到第十八届国际数学家大会上的人之一。

　　在现在的计算机上，人们还可以模拟一些非欧式空间中的魔方，譬如三维双曲空间中的三阶魔方。

　　魔方和代数中置换的奇偶性也有很大的关系，魔方可以算是“奇偶置换”的一个非常具体的应用。

　　其实，与魔方关系最密切的数学分支，当属代数学中的群论。不过，虽然大多数魔方都与群论密切相关，但许多最新的魔方都不能完全被纳入群论的框架下，即它们的所有状态并不构成一个群。

　　小结

　　想不到，小小的魔方居然包含那么深刻的数学知识，实在值得我们去仔细研究啊！希望我的简单分享和介绍可以让大家更加认识魔方的本质，在游戏中也能感受到数学的乐趣。欢迎多多交流，也期待大家关注我哦！

　　一般来说，人能理解的“魔方公式”，有以下几种：1. 自己碰巧凑出来的，简称为随机获得的公式。2. “组合”的公式，多条已知的魔方公式进行组合。再进一步，比如具有换位子 或者共轭子 创造的公式。更高级的方法还有空穴法的公式。3. 空间对称的公式。也就是直接翻转整个魔方。也包括“镜像公式”。4. 其他你学过来的公式。不过因为你学过来的公式也是别人碰巧得到的（或者计算机跑出来的），所以和1一样也是随机获得的。

　　魔方的探索过程，最有趣的地方就在于“找规律”。因为魔方的对称性使得很多规律都很具有美感，这也是魔方的魅力之一。找“方法”这个过程本身就是人类智力的一个体现：归纳总结后得出人类能理解并处理的方法。这是人类和其他生物乃至计算机的不同：我们会找规律。魔方其实是一个看似复杂，但是又充满规律的东西，所以才风靡全球吧。

　　一般来说，所有的魔方复原法通常以“魔方公式”出现，但一般外行人没有意识到的是所有“方法”对应的公式还有一个隐藏内容就是公式使用的条件。方法如果是正确+完整的，那么结果就是从任意状态都能复原成最初的状态。

　　在知乎我有一个讲魔方数学知识的系列文章，其中讲魔方解法的数学基础的文章是：伍易东：魔方中的数学29-降群法理论基础

　　群论(group theory):

　　在魔方中，群论是一种重要的数学工具，用于研究魔方的各种移动和解法。我们可以将魔方的移动集合构成一个群，记作(G, ∗)。G的元素将是魔方的所有可能移动，例如顺时针旋转顶面、逆时针旋转右面等。

　　群论提供了一种严格的结构和操作规则，用于描述和分析这些移动。群的操作符∗表示两个移动的组合，即先进行一个移动，然后再进行另一个移动。通过定义这种组合操作，我们可以研究移动的闭合性、结合律、单位元和逆元等性质。

　　在群论中，我们可以探索魔方移动的各种性质和规律。例如，我们可以研究移动的可逆性，即每个移动都有一个逆移动，可以将魔方还原到初始状态。我们还可以研究魔方的置换性质，即通过一系列移动可以将魔方的各个块重新排列。

　　群论还可以帮助我们研究魔方的解法。通过将魔方的状态表示为群中的一个元素，我们可以使用群论的技巧来寻找解法。例如，我们可以使用群的生成元素和子群的概念来构建一种有效的解法算法。

　　总之，群论在魔方中的应用使得我们能够系统地研究和解决魔方的各种问题，为魔方的理论和实践提供了坚实的数学基础。

　　上帝之数-GOD'S NUMBER

　　排列组合-Number of permutations

　　经典3x3x3魔方有巨大的图案组合可能性，约为43万亿。用与排列数量相同的6厘米魔方覆盖地球表面可达300次。

　　对称性-Symmetry

　　魔方具有旋转和镜像对称性，理解对称性可减少考虑的魔方位置数量。

　　图论-Graph Theory

　　图论用于表示魔方位置和移动的关系，模拟状态空间，并分析最短路径。

　　算法-Algorithms

　　魔方启发了许多算法的发展，包括逐层法、CFOP和Roux等高级方法，以及针对特定情况或模式的算法。

　　推荐阅读：

　　三阶魔方-CFOP完全手册《飞旋马赛克》 - 知乎 (zhihu.com)

　　三阶魔方盲拧-4步法专栏 - 知乎 (zhihu.com)